现代数学这种空前广泛的渗透与应用，与这门科学自身的进化密切关联着。
2.01 数学科学
杨 乐 叶其孝 张恭庆 李文林 胡作玄
20世纪数学科学的巨大发展，比以往任何时代都更加令人信服地确立了数学作为整个科学技术的基础的地位。数学物理、数学化学、生物数学、数理经济学、数理地质学、数理语言学、数值天气预报、数学考古......一系列边缘学科的涌现， 表明数学的应用已突破传统的范围而向人类一切知识领域渗透。 拉东（Radon）变换应用于CT扫描、小波分析应用于通讯技术， 以及工业数学的兴起等更反映了数学正越来越直接地为人类生活与物质生产作出贡献。 随着科学数学化趋势的增长，数学在提高全民素质、培养适应现代化需要的各级人才方面还具有特殊的教育功能。 数学科学，已成为推进人类文明的不可或缺的重要因素。
现代数学这种空前广泛的渗透与应用，与这门科学自身的进化密切关联着。20世纪数学科学的特征之一是： 数学结构等抽象观点的兴起和对数学基础的深入考察，将这门科学的核心部分引向高度抽象化的道路。 这方面的发展为抽象代数、代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论、数理逻辑等大量新领域的开拓指引了方向， 同时也推动经典数学如数论、代数几何、微分几何、李群、复分析、调和分析等分支的深化发展。 核心数学所创造的许多高度抽象的语言、结构及理论， 不仅已成为数学内部联系、统一各分支的纽带，而且被反复证实正是其它科学技术领域中普遍适用的工具。
20世纪数学发展的另一个前所未有的特征是计算机的影响。电子计算机本身是本世纪抽象数学成果应用的最光辉的例证之一。 可以说没有哥德尔(Godel)、图灵(Turing)等人对数理逻辑的基本研究，就没有现代的程序储存计算机。 反过来，计算机日益成为数学研究本身的崭新手段，它不仅极大地扩展了数学的应用范围与能力， 而且通过科学计算、数值模拟与图像显示等改变着理论数学研究的面貌。 另一方面，计算机的设计、制造、改进与使用提出大量问题，也是向数学理论研究的新挑战。
数学核心领域（即核心数学）的扩展、数学的广泛应用以及计算机与数学的相互影响，形成了当今数学研究活动的三大方面。 数学早已不再仅仅是数论、代数、几何与分析等经典分支的集合，而成为领域越来越宽广的学科簇。"数学科学"这个名称，正反映了以往作为自然科学传统学科之一的数学， 在我们这个时代从内容、意义到方法所经历的深刻变化。现代数学研究一切可能的数量关系与空间形式。 在更广的意义上，数学科学已被看作是关于"模式"(patterns)的科学，也就是说，它寻求尽可能简单的、适用的模式，以揭示和描述现实世界或数学自身的抽象世界所具有的各种结构。 以下我们按纯粹数学、应用数学、计算科学（指与计算机相关的数学）、统计学与运筹学以及数学教育等方面来分述数学科学发展的现状与趋势。
2.01.1 纯粹数学
在过去的一个世纪里，纯粹数学经历了一系列激动人心的发展。19世纪以来积累的一些重大问题[包括著名的希尔伯特(Hilbert)问题]有许多已获解决或是取得了重要进展。像连续统假设独立性的科恩证明、有限单群完全分类的完成、阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理的建立、费马(Fermat)大定理的最终证明...,这些辉煌的智力成果不断地使科学界震惊，反映了数学中最抽象的核心部门充满着生机与活力。数学发展中更高的抽象性与普遍性趋势的壮大，是与人们对广泛数学模式的更高追求紧密相关的，而这种追求的重心当前正经历着历史性的转变。 从近几十年的情况看，对高维、多变量以及非线性数学、大范围数学等的日益重视，已蔚成不可避免的潮流。 数学家们还将对离散型结构与随机化模型给予更多的关注。 所有这些，无疑将推动纯粹数学的前沿在未来时代获得空前的扩展，同时也蕴涵着比以往更为丰富多彩的、不可预见的应用机遇， 从而进一步揭示数学的抽象本性与客观世界的深刻而奇妙的联系， 恰如以往发现非欧几何在相对论中的应用、物理学中的规范场就是数学中纤维丛上的联络等情形那样。因此，纯粹数学的发展，始终是数学科学自身巨大的生命力及其应用威力的真正源泉。
20世纪以来，数学的发展也像其他科学一样??一方面不可避免地越来越分化，越来越专业化，使得不同领域的研究者往往难以沟通和理解； 另一方面，则存在着相反的趋势，即不同学科相互渗透、结合的趋势。近20年来，数学科学的这种统一化趋势空前加强。 不同分支领域的数学思想与方法相互融合，导致了一系列重大发现，数学内部综合交叉学科不断兴起并成为人们研究的热点。 这一势头将保持下去并成为数学发展的跨世纪的特征之一。现举例说明如下：
A. 几何分析
几何分析把各种分析方法(特别是偏微分方程和非线性分析方法)与几何、 拓扑方法结合起来，用以解决微分几何与微分拓扑中的重大问题， 预计在相当长的时期内将持续成为数学中交叉性极强、最有活力的核心学科。由于杨-米尔斯场与拓扑及微分几何的关系使两方面相得益彰，拓扑及代数几何方法对于描述杨-米尔斯方程的反自同伪解空间是必不可少的。反过来，杨-米尔斯理论直接推动低维拓扑的发展。阿蒂亚(Atiyah)认为，杨-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。它是黎曼-罗赫-格罗腾迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推广从而与代数几何相关，同时又将分析直接同拓扑及微分几何不变量联系起来。 另一方面，非线性偏微分方程的技术可以用来计算及定出各种拓扑及几何不变量，这方面的典型工作是丘成桐的。80年代非线性分析应用于低维流形的微分拓扑性质研究方面所取得的重大突破是唐纳森(Donaldson)理论，这些都属于当前几何分析最热门的课题之列。
B. 随机分析
近几十年来，概率论向分析、几何领域渗透先后产生了随机积分、随机微分方程、随机微分几何、无穷维随机分析等领域。 马利阿温(Malliavin)及其学生用随机分析方法重新证明了阿蒂亚-辛格指标定理及偏微分椭圆算子的赫尔曼德尔(Hormander)定理等， 更加深刻地揭示了随机性数学与决定性数学的内在统一性。 随机分析的研究方兴未艾，并且与量子场论、理论物理密切相关。
C. 算术代数几何
寻求统一的方法研究代数几何与代数数论，形成了称之为"算术代数几何"的新学科。 算术代数几何交织着代数几何、代数数论、代数拓扑、微分几何、调和分析、群表示论与微分方程等众多领域的方法与结果。 德利涅(Deligne)用格罗腾迪克(Grothendieck)理论证明高维韦伊(Weil)猜想、 区宁费尔德(Drinfeld)模理论被用于证明朗兰兹(Langlands)猜想、奈望林纳 (Nevanll-inna)理论与丢番图(Diophantine)逼近的统一关系，特别是新近怀尔斯(Wiles.A.)在证明费马大定理方面取得的巨大成功， 都使算术代数几何成为令人瞩目的前沿领域。
D. 动力系统理论
源于常微分方程定性研究的动力系统理论，由于拓扑方法与分析方法的有力结合而取得重大进步，借助于计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分岔、分形理论。 这方面的研究涉及拓扑学、数论、函数论、测度与遍历理论甚至组合数学， 并已渗透到物理、化学、生物学与经济学等许多科学领域中去。
与动力系统密切相关的辛几何，涉及从整体和拓扑观点研究哈密顿(Hamilton)系统。该领域最近的重要突破则运用了非线性椭圆型方程和全纯曲线。 反之，与辛几何有关的研究又影响拓扑学与复分析。 此外，作为辛变换的基本例子的保面积映射的迭代导致高度复杂的不稳定行为，因而对理解混沌动力学有重要意义。
E. Kdv方程与代数几何
60年代Kdv方程通过逆散射方法获解后，一系列类似方程也得到解决，如Sine-Gordon方程和非线性的薛定谔(Schrodinger)方程等。 令人惊奇的是孤立子方程与代数几何的关系的发现，这导致盐田隆比吕1986年证明诺维克沃(Novikov)猜想， 使这一具有实际背景的方程进入了大统一的领域。
其他各种意想不到的联系都加强着数学科学大统一的局面。数学的统一性是这门科学固有的特征，并且也正是它能用作科学的普遍语言和具有广泛的适用性的根源所在。 数学内部的统一性趋势不仅将促使这门科学核心领域的深刻变化， 同时也必将对它所应用的科学技术领域产生深远的影响。因此，数学界对于联系数学中不同领域的工作， 总是给予高度评价。事实上，上述许多工作的作者， 如阿蒂亚、格罗腾迪克、唐纳森、 丘成桐、德利涅、琼斯(Jones)、 区宁费尔德等都成为数学菲尔兹(Fields)奖的得主， 而格罗腾迪克、德利涅、 丘成桐与唐纳森具有高度统一性的工作还赢得了瑞典皇家科学院颁发的与诺贝尔奖的同等地位的克雷福特(Crafoord)国际大奖。
近半个世纪以来，数学发展中一个不同以往任何时代的特点是计算机的影响。随着计算机的发展，纯粹数学正在获得丰富的回报。计算机已进入越来越多的纯数学领域，必将带来数学理论研究的深刻变化，数学家只用纸与笔的时代将成为过去。
在计算机上，通过计算猜测、发现新的现象与事实，或证明困难的问题与定理，已显示出广阔的前景。计算机证明四色定理、证明费根鲍姆(Feigenbaum)猜测、比伯巴赫(Bieberbach)猜测，已是人们熟知的例证。在数论问题的研究中，利用计算机目前已成为常事。一般认为高斯在数论方面的伟大成就得益于他非凡的计算能力， 高速计算机对现代数论研究的意义就不言而喻。
近年来计算机图像显示正在成为纯数学研究的有力手段。这主要是受了在计算机上模拟发现孤立子与混沌的鼓舞。 计算机显像在拓扑学极小曲面的研究方面更是引起突破性进展，它帮助数学家发现了无穷多个嵌入完备极小曲面的存在， 并将类似的技巧推广到一般变分问题的处理。这些都导致了新兴的计算机图学(computer graphics)的发展，后者已成为非线性科学领域的重要武器。
2.01.2 应用数学
数学与自然科学、生产技术的联系源远流长。然而这种联系有时呈现曲折性。在历史上，数学的应用大致经历了四个阶段： 最早是简单计算、定量描述及数学普遍语言的采用；其次是数学分析与微分方程的广泛使用；第三个时期是20世纪初，数学开始走在物理学等其他学科之前，进入相对独立的发展阶段。 然而，正是这一时期的一些抽象数学成果最终成为其它科学新理论、新分支的仿佛是定做的工具。 例如黎曼几何与张量分析恰好是广义相对论需要的工具， 希尔伯特《数学物理方法》(1924)也正好为翌年出现的量子力学准备了工具。 纯数学的谱概念甚至毫不费力地被移用到各种物理谱上。主要是数学家的韦尔 (Weyl.H)及冯.诺伊曼(von Neumann) 把群论及泛函引入量子物理并奠定其理论基础，韦尔还是杨-米尔斯规范场论的先驱等，这一切都揭示了数学自身的发展在极其抽象的外表下与自然科学其他领域的深层联系； 第四个阶段是60年代末、70年代初开始，形成数学与其他科学相互作用、相互促进的大一统趋势， 相应地纯粹数学与应用数学的差异在缩小。 更重要的是数学在向其他科学渗透的同时，日益起着统一、综合各种科学知识的作用。 从某种意义上说，数学似乎成为科学发展的决定(dominant)因素。到2000年及其后，这种趋势是不会变化的。数学应用的这个新时代具有以下特点：
A. 纯粹数学几乎所有的分支都获得应用
在60年代，像拓扑学这样的抽象数学分支离实际应用似乎还很遥远，而今天拓扑学(特别是纽结理论)已成为生物学中了解DNA结构的有效工具。 在物理学中，拓扑不变量正在成为物理的量，正如一些群的不变量是物理的量一样。数论也曾被认为是最纯粹、 最缺乏应用的数学分支，但如今数论方法在计算机科学、密码技术、卫星信号传输、P-adic量子场论等许多方面发挥重要的有时甚至是关键的作用， 并通过与数值分析相结合开辟着更广的应用途径。
事实上，仅就在理论物理中的应用而言。涉及的数学除了经典的分支与方法（如数学物理方程、富氏分析、无穷维空间论、群论、概率统计等），还包括了微分拓扑学、大范围分析、代数几何、李群与李代数、算子代数、代数数论、非交换数学、非线性数学、计算数学等，几乎覆盖了核心数学的整个领域。
B.几乎所有的科技领域都在应用数学，并越来越多地应用更高深的数学
数学在力学、物理学中的应用是经受了历史考验的。而当今数学的应用则早已突破这一传统的范围， 正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军。 除了自然科学，在经济学及其他过去认为不适用数学的社会学、历史学等社会科学领域内，数学方法也都在崭露头角。 随机分析应用于金融决策而引起的经济学理论的进展，提供了特别令人鼓舞的例证。 与以往时代不同的是，数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成交叉学科。 与数学有关的词大量出现在各门学科之前后，如"数学的"、"数理的"、"计量的"、"统计的"、"计算的"以及"......数学"、"......统计学"等等。学科成熟的社会标志是学会、协会的建立， 期刊与连续出版物的问世，以及课程的设置、专业会议的如召开等。 例如《数学化学杂志》80年代创刊，《数理经济学杂志》70年代创刊，生物数学的期刊出现更早。 次一级的学科如"数学分类学"的著作早在60年代就问世，对这些学科的详情需作更深入的调研与讨论。
值得注意的是纯粹数学中的一些前沿与其他科学的许多前沿领域的快速结合，这反映了科技领域中数学渗透的空前深度。 可以这样说，没有这些前沿数学就没有当代理论物理学的一些前沿领域如超弦理论、超引力理论等。 事实上，仅仅像弦理论这样的物理学热门分支所用到的数学，就涉及微分拓扑学、代数几何学、微分几何、 群论与无穷维代数、复分析与黎曼曲面的模理论等。 凝聚态物理中分类晶体结构中的"缺陷"以及液晶理论，都用到某些齐性空间中同伦群的计算， 而这即使对代数拓扑学家来说也是极难的问题。数理经济学中一般均衡理论的建立、发展， 也用到了微分拓扑学的基本定理与彻底的公理化方法，经济学家德布鲁(Debreu)因这方面的工作获诺贝尔奖。
C. 数学对生产技术的应用变得日趋直接
以往数学工具直接用于生产技术的例子虽有发生，但数学与生产技术的关系基本上是间接的：常常是先应用于其他科学，再由这些科学提供技术进步的基础。近半个世纪来，数学科学与生产技术的相互作用方式正在悄悄地改变，数学提供的工具直接影响和推动技术进步的频率正在加大，并在许多情况下产生巨大的经济效益。 例如：以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，类似的数值模拟方法正被应用于许多技术部门以替代耗资巨大的试验；以调和分析为基础发展起来的小波分析直接应用于通讯与石油勘探等广泛的技术领域，这在20年前是不能想象的；现代医学扫描技术(CT扫描、核磁共振成像等)主要也是建立在拉东积分理论的基础之上。这方面的例子举不胜举。此外，现代大规模生产的管理决策、产品质量控制也密切依赖于数学中的线性规划算法(单纯形法与新兴的内点法)及统计方法。近年来，以数学建模为核心的工业数学成为一个蓬勃发展的应用数学领域也决不是偶然的。产业部门的工程技术人员与数学工作者携手合作，解决影响甚至决定生产过程的形形色色的数学问题。反过来，许多挑战性问题也刺激纯粹数学的发展。
D.数学在学科发展中的份额及力度越来越加大
一些著名的数学家认为，数学是一种关键的、普遍适用的、并赋予人以能力的技术。从某种意义上来讲，"高技术本质上是一种数学技术"。 数学方法作为普遍适用的方法和技术，在21世纪将成为科学研究中重要的组成部分，而且也许是最富创造性的部分。 这特别表现在形成概念及理论框架方面。 实际上，当前的动力系统的研究（分叉、吸引子）、孤立子、混沌、以及汤姆(Thom)的突变理论已成为许多领域的通用语言及工具，而更艰深的数学将在未来更为普及。
当然，数学自身的发展是长盛不衰的，核心数学仍然有相当辽阔的领域，而且前沿不断加速扩展。 纯粹数学高度抽象的智力成果，以其逻辑的威力与精确的特征将永远是这门科学的光荣所在。 也就是说，在应用数学更加繁荣、计算机的影响日趋扩大的新世纪，数学核心知识的高度抽象性与内在的统一性，将在更高级的层次上决定着这门科学应用的广泛性。
2.01.3计算科学
电子计算机的发明与使用是第二次大战以来对人类文明影响最为深远的科技成就之一。电子计算机是数学与工程技术结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。 通用计算机的概念最先是由数学家巴贝奇(Babbage)提出： 图灵从数学上证明了制造通用数字计算机的可能性； 冯.诺伊曼的程序存储等思想至今仍是现代计算机的设计指南。毫无疑问，计算机的进一步发展，包括新型计算机（如大规模并行计算机、光学计算机、智能计算机、神经计算机、生物计算机等）的研制，仍将借助于适当的数学理论与思想。
本文的重点是讨论与计算机的使用密切相关的数学方面，特别是科学计算、计算机符号运算与机器证明等。
A.科学计算
科学计算已经同理论与实验共同构成当代科学研究的三大支柱。第二次大战前，物理学、力学、天文学的研究主要是建立在观测、实验与理论的基础上， 而化学、生物学则主要是实验科学。随着计算机的发展，计算机在推动科学进展方面开始发挥重要作用。数值天气预报就是一例。19世纪末，挪威学者已将液体力学引入气象学研究，1922年理查森提出数值解法，但只有冯.诺依曼等借助计算机与适当的数值方法才于1952年首次实现数值天气预报。与气象学一样，当前一系列科学与工程领域的发展都依赖于计算机与计算方法，这导致了大规模科学计算的迅猛发展。
（1）计算应用学科的兴起
在现代科学与工程技术的许多领域中，用计算机求复杂数学方程（包括高次代数方程组、非线性微分方程等）的近似解具有普遍意义，一系列计算性应用学科应运而生。它们包括计算力学、计算流体力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算机考古......。从长远看，这样的学科还将继续兴起并蓬勃发展，促使各领域获得更深刻的结果，而其中许多问题的解决以往单靠理论与实验是无能为力的。
（2）计算方法的研究
人类的计算能力等于计算工具的性能与计算方法的效能的乘积。计算方法对于计算能力的提高至少与硬件同等重要。 从现在起到下世纪30年代，计算方法的研究将非常活跃。 除了改进原有的算法、构造新算法及分析算法特性， 计算方法的研究可能沿以下方向取得重点进展： 对计算方法的统一研究，这与以往算法研究问题越来越细、 范围越来越窄的趋势正好相反； 借助于更新的数学理论工具（例如动力系统的性质等） 来研究算法；微观计算数学即对算法内部结构与层次分析研究的加强（如算法结构的优化、局部化、并行化、随机化、自适应等等）。高性能计算（high performance computing）和设计与结构优化紧密结合将是新一代算法的显著特点。
（3）科学可视化
科学可视化是将科学计算的数值结果转化为图形、图像以及动画在计算机屏幕上显示。 它帮助人们更好地观察及理解科学计算的结果，及至发现所研究问题的规律。 计算机模拟能在计算机屏幕上产生逼真的虚拟环境， 有广泛的应用。 科学可视化强烈依赖于数学（如计算几何、数值逼近等），它的实现离不开先进的计算方法、 图形运算和高速计算机。
B.计算机符号运算与机器证明
正如算术发展为代数，数值代数也发展为计算机代数，也就是用计算机进行符号运算，不仅包括代数运算，而且包括微积分、微分方程、微分几何等等。这构成机器证明以及一些计算几何问题的基础，定理机器证明已经取得重要进展，并发展成为更普遍的数学机械化领域，这方面的研究颇具意义，将继续发展。
2.01.4 统计学与运筹学
第二次大战以来，统计学与运筹学取得的巨大进展已使它们成为数学科学的重要而独特的组成部分。 这两门学科都建立在数学理论的严密基础之上，同时又都具有与纯粹数学和应用数学不同的特点。 它们提供的方法与手段在其他科技、生产领域日趋普遍和直接的应用，以及它们与计算机和计算技术的密切关联，正在将这两门学科推上更为引人注目的舞台。
统计学的基本概念与方法虽然起源较早，但近半个世纪的发展已使这门学科面貌一新。这种发展主要是受了其他科技领域和工农业生产、社会经济领域需要的推动。 统计学中的多元分析、 实验设计、序贯分析、可靠性等理论与方法是与工农业生产紧密相关的； 抽样调查、列联表分析、生存分析等内容又与社会调查有关。 第二次大战后随着计算机的出现和军事工业及医药学的发展又出现了统计模式识别、 巴得勒勃(Bootrap)方法、PP方法和专家系统等新方法。特别应该指出的是国防、气象、 经济等部门提出的问题推动了随机过程和随机场上统计推断理论的发展。 这样，统计学不仅更深入地渗透到更广泛的领域，而且在统计学的理论与方法上也增添了新的篇章。
本世纪末到下世纪的统计学将面临着各方面更大的挑战。统计学为由观测样本获得尽可能多的总体信息的方法，关系到信息的本质和数据的处理， 而在计算机与信息化的时代，爆炸式积累的信息与数据必须借助于统计学才能得到有效的利用。 大规模的信息处理所遇到的诸如信息压缩、 特征检测、可靠性分析、以及数字、符号、 图形乃至语言的加工等一系列问题，都要依靠统计方法与计算技术的结合来解决。 而且，其他领域如生命科学、物理学、天体物理学、医学、计量经济学等，以及在遥感、环境监测、气象、医学、军事、人口控制、质量管理等方面不断提出的大量的统计难题， 也都迫切需要引进新的统计概念、方法甚至理论体系，其中生命科学也许是下一世纪最富挑战性的领域，许多意义重大的问题如DNA结构分析、爱滋病流行病学、 大范围生态模型乃至针灸机理等的探讨，都为新统计学的发展带来诱人的前景。
运筹学完全是第二次大战以来新兴的学科。运筹学本质上是数学寻优（最优化）的技术。由于优化问题的普遍存在，使得最初源于军事需要的运筹学在现代生产、社会、经济与公益事业的组织管理等方面迅速获得了极富成效的广泛应用。40余年来，从线性规划的单纯形法开始到最近的内点法等，一整套寻优算法已经发展起来。大型计算机更使某些复杂的多因素（有时多达百万）系统和最优化问题得以解决，从而大大强化了这一发展。但除了连续性最优化问题，未来的发展将对具有重大实际意义的离散最优化（即某些变量只限于取某可数集合的情形）等方向给予更多的关注。此外，在随机规划（即包含不确定因素的线性及非线性规划）、参数规划、图论及相关算法的设计等领域也存在大量亟待探讨的问题。
2.01.5 数学教育
数学科学的发展与数学教育密切有关。正是由于计算机、通讯等现代技术的迅速发展，特别是由于数学与科技相结合所迸发出的巨大力量，愈来愈多的有识之士认识到，数学的思考方式具有根本的重要性。数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外， 还有另一个训练全面、严密考虑科学系统的头脑的开发功能。 也就是说，为了培养有竞争能力的科学家、工程师甚至21世纪的一般劳动者，必须加强数学教育。 目前特别是要搞好从小学到中学、大学以至研究生的数学教育的改革。 一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学和计算科学的更多更全面的内容， 使他们具有在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面的足够的经验， 使他们掌握数学建模的手段与相伴的计算工具等等。 总之需要改革对工程师和科学家的数学教育以适应数学科学发展及其应用的现代化水平。 另一方面，数学科学的发展很大程度上又依靠数学的应用和反馈，即有多少需要解决的挑战性的数学问题的提出， 这也要求在各个层次上数学教育的成功。 而现在的数学教育离开这样的要求还很远，数学教育的改革势在必行。
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